更多信息：一元二次方程
方程的一般形式
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一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为：
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}
，其中
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
。
a
x
2
{\displaystyle ax^{2}\,}
为方程的二次项，
a
{\displaystyle a\,}
为方程的二次项系数；
b
x
{\displaystyle bx\,}
为一次项，
b
{\displaystyle b\,}
为一次项系数；
c
{\displaystyle c\,}
为常数项。若
a
=
0
{\displaystyle a=0\,}
，则该方程没有二次项，即退变为一元一次方程。
求根公式
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■
y
=
3
2
x
2
+
1
2
x
−
4
3
{\displaystyle y={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x-{\frac {4}{3}}\,}
■
y
=
−
4
3
x
2
+
4
3
x
+
1
3
{\displaystyle y=-{\frac {4}{3}}x^{2}+{\frac {4}{3}}x+{\frac {1}{3}}\,}
■
y
=
x
2
+
1
2
{\displaystyle y=x^{2}+{\frac {1}{2}}\,}
一元二次方程根的判别式為
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}
。
若
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0\,}
，則該方程有两個不相等的實数根：
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}
；
若
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0\,}
，則該方程有两個相等的實数根：
x
1
,
2
=
−
b
2
a
{\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\,}
；
若
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0\,}
，則該方程有一對共軛複數根：
x
1
,
2
=
−
b
±
i
4
a
c
−
b
2
2
a
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}\,}
。
由上可知，在實數範圍內求解一元二次方程，當
Δ
≥
0
{\displaystyle \Delta \geq 0\,}
時，方程纔有根（有兩個不等實數根或兩個相等實數根）；當
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0\,}
時，方程有两个复数根，但是在实数范围无解。
根与系数的关系
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更多信息：韦达定理
设
x
1
{\displaystyle x_{1}\,}
，
x
2
{\displaystyle x_{2}\,}
是一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}
（
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0\,}
）的两根，则
两根之和：
x
1
+
x
2
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}
两根之积：
x
1
x
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}
求根公式的由来
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中亚细亚的花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做「根」，其后译成拉丁文radix。
我们通常把
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
称之为
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}
的求根公式：
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
x
2
+
b
a
x
+
(
b
2
a
)
2
−
(
b
2
a
)
2
+
c
a
=
0
(
x
+
b
2
a
)
2
−
b
2
4
a
2
+
c
a
=
0
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
4
a
2
−
c
a
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
x
+
b
2
a
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}
或不將
x
2
{\displaystyle x^{2}}
係數化為1：
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
a
x
2
+
b
x
+
(
b
2
a
)
2
=
(
b
2
a
)
2
−
c
(
x
a
+
b
2
a
)
2
=
(
b
2
a
)
2
−
c
x
a
+
b
2
a
=
±
(
b
2
a
)
2
−
c
x
a
+
b
2
a
=
±
b
2
4
a
−
c
x
+
b
2
a
=
±
b
2
4
a
2
−
c
a
x
+
b
2
a
=
±
b
2
4
a
2
−
4
a
c
4
a
2
x
=
−
b
2
a
±
b
2
−
4
a
c
4
a
2
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c}}\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}\\x&=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}
对应函数的极值
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设
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}
（
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0\,}
），
对
x
{\displaystyle x\,}
求导，得
d
y
d
x
=
2
a
x
+
b
{\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=2ax+b}
令
d
y
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=0}
，得
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}}
即为
y
{\displaystyle y\,}
的极值点，该式亦为函数图形（即抛物线）的对称轴方程。
将
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
代入
y
{\displaystyle y\,}
，可得
y
=
−
b
2
−
4
a
c
4
a
{\displaystyle {\begin{aligned}y&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}}
即为
y
{\displaystyle y\,}
的极值。
根据函数取极值的充分条件，即：
f
″
(
x
)
<
0
{\displaystyle f''(x)<0\,}
，
x
{\displaystyle x\,}
是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
的极大值点，
f
″
(
x
)
>
0
{\displaystyle f''(x)>0\,}
，
x
{\displaystyle x\,}
是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
的极小值点；
由
d
2
y
d
x
2
=
2
a
{\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} ^{2}y}{\mathop {\mbox{d}} x^{2}}}=2a}
，可知：
当
a
<
0
{\displaystyle a<0\,}
时（抛物线开口向下），
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
为
y
{\displaystyle y\,}
的极大值点；
当
a
>
0
{\displaystyle a>0\,}
时（抛物线开口向上），
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
为
y
{\displaystyle y\,}
的极小值点。